Schwingungsüberlagerungen am Metapendel: Visualisierung der Energieerhaltung mit dem Smartphone

David Weiler, Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd

Arne Bewersdorff, Pädagogische Hochschule Heidelberg

Das Metapendel ist eine Kombination aus Fadenpendel und Federpendel welche sich gegenseitig anregen. Damit kann das Metapendel als ein Beispiel für Resonanzen verwendet werden. Mit dem Smartphone lassen sich leicht die während der Schwingungsbewegung auftretenden Beschleunigungen aufnehmen und dadurch die Resonanz innerhalb des Systems veranschaulichen und an den Messwerten diskutieren.

1. Einleitung

Der meist zur Einführung der Resonanz verwendete Versuch besteht aus zwei gleichen Stimmgabeln in direkter Nachbarschaft, wovon eine angeregt wird. Durch die Resonanz beginnt die zweite Stimmgabel mitzuschwingen.

Resonanzversuche mit gekoppelten mechanischen Schwingungen werden oft mit einem Motor mit Exzenter durchgeführt. Mit dem Metapendel wird keine äußere Anregung benötigt, da die beiden Teilsysteme sich gegenseitig anregen. Dies hat zum Vorteil, dass ein aus energetischer Perspektive nahezu geschlossenes System betrachtet werden kann. Möglichen Fehlvorstellungen, dass Resonanzen nur durch externe Schwingungsquellen (Motor mit Exzenter) hervorgerufen werden können, kann somit begegnet werden.

Ein aus unserer Sicht hierfür geeigneter Versuch kann das Metapendel sein. Dabei benötigen die Lernenden jedoch bereits genaue Vorstellungen der Resonanzfrequenzen von Feder- und Fadenpendel um eine störungsfreie Kopplung zwischen Pendellänge und Federkonstante herzustellen.

Das Metapendel bietet einen anhaltenden Wechsel der Resonanzfälle sowie über die Verwendung eines Smartphones als Pendelmasse eine unkomplizierte Datenerfassung.

Der Einsatz des Smartphones in Kombination mit der App Phyphox (phyphox.org) zur Aufzeichnung der Beschleunigungen von Federpendel und Fadenpendel wurde von Götze, Heinke, Riese, Stampfer und Kuhlen (2017) beschrieben. Darauf aufbauend soll im Folgenden der Einsatz eines Smartphones als Pendelmasse und zugleich Messgerät für das Metapendel, also der Kombination aus Federschwinger und Federpendel (Schlichting & Ucke, 1995), betrachtet werden. Die Auswertung der aufgezeichneten Daten wird in diesem Artikel qualitativ vorgenommen. Eine quantitative Auswertung ist ebenfalls möglich, jedoch auf Grund der auftretenden Dämpfungserscheinungen für die Sekundarstufe 1 mathematisch anspruchsvoll.

Durch die Aufzeichnung der im Metapendel wirkenden Beschleunigungen kann die Überlagerung der Pendelschwingung mit der Federschwingung in einem Diagramm dargestellt werden. Diese Darstellung bietet die Möglichkeit den Resonanzfall grafisch untersuchen zu können.

2. Das Metapendel

Das Metapendel (auch als „Gorelikpendel“ bekannt) vereint die lineare elastische Schwingung eines Federschwingers mit der harmonischen Schwingung eines Fadenpendels.

Im vorliegenden Versuchsaufbau ist an einem Federschwinger ein Faden mit einem Smartphone als Pendelmasse befestigt (siehe Abb. 2). Die Schwingungsmuster des Federschwingers und des Fadenpendels gehen im reibungsfreien Idealfall ineinander über, die Energie wechselt zwischen Spann- und Höhenenergie im Federschwinger und Bewegungs- und Höhenenergie im Fadenpendel. Dabei lässt sich die Bewegung in drei Zustände einteilen (siehe Abb. 3, für ein Video siehe QR-Code am Ende des Artikels):

1. Alle Energie ist in der horizontalen Pendelbewegung des Fadens gespeichert. Dabei verteilt sie sich wiederum auf die potentielle Energie (Geschwindigkeit ist hierbei null) und die kinetische Energie (Geschwindigkeit in der Ruhelage maximal).

2. Die Energie ist auf die beiden Schwingungsformen aufgeteilt. Dabei kommt es sowohl zur Streckung der Feder als auch zur horizontalen Auslenkung des Fadenpendels.

3. Alle Energie ist in der vertikalen Pendelbewegung des Federschwingers gespeichert. Hierbei treten die Formen der maximalen Höhenenergie (oberer Umkehrpunkt), der maximalen Bewegungsenergie (Durchlauf durch die Ruhelage) und der maximalen Spannenergie (unterer Umkehrpunkt) auf.

3. Der Versuch
3.1 Materialien

•          Smartphone mit der App „Phyphox“
•           Eng anliegende Smartphonehülle
•          Feder (etwa D ≈ 5 – 6 )
•           Faden
•           Stativmaterial

3.2 Aufbau und Durchführung

Um einen zyklischen Wechsel der beiden Schwingungsformen zu erreichen, muss die Fadenlänge auf die Federhärte des Federschwingers abgestimmt werden. Bei einem qualitativen Demonstrationsexperiment durch die Lehrperson wird dieser Schritt im Vorfeld der Unterrichtseinheit vollzogen. Je nach Niveau und Schwerpunkt der Unterrichtseinheit können die notwendigen Herleitungen und Berechnungen auch von den Lernenden selbst angestellt werden. Damit ist eine Öffnung der Aufgabenstellung möglich.

Zuerst muss die Masse m des Smartphones mit Hülle und die Periodendauer T des Pendels durch Wägen bzw. messen bestimmt werden. Damit wird die Federkonstante D mittels der Formel
berechnet.
Soll eine Auseinandersetzung der Lernenden mit dem theoretischen Hintergrund erreicht werden, kann die Umstellung nach D entweder durch die Lernenden selbst durchgeführt werden oder die umgestellte Formel wird als Hilfestellung vorgegeben:

Nun wird berechnet, wie lang die Gesamtlänge des Pendels aus Feder, Faden und Smartphone sein muss. Hierbei muss beachtet werden, dass die Periode des Fadenpendels der doppelten Periode des Federpendels entsprechen soll:

Dies liegt daran, dass bei einer Periode des Fadenpendels die Projektion der Bewegung des Massestücks zweimal die Periode eines Federpendels aufweist (Abb. 4). Unter diesen Umständen tritt der Resonanzfall ein.

Mit der Formel für die Periodendauer des Fadenpendels

ergibt sich daraus die Gesamtlänge des Pendels, bestehend aus Feder-, Fadenlänge sowie der Entfernung zum Massemittelpunkt des Smartphones (halber Smartphonelänge)  

 

Um nun die Fadenlänge zu ermitteln, muss die Länge der ausgelenkten Feder und die halbe Länge des Smartphones von der Gesamtlänge abgezogen werden.

Die Länge der ausgelenkten Feder kann mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes durch die Formel

berechnet werden. Alternativ kann sie auch bei der Bestimmung der Federkonstanten direkt gemessen werden.

Man bindet nun den Faden an die Feder und klemmt ihn so zwischen Smartphone und Smartphonehülle ein, dass die Fadenlänge zwischen Oberkante Smartphone und Feder der berechneten Länge entspricht. Die so erhaltene Kombination aus Faden- und Federpendel wird an einem Stativ angebracht, sodass sie frei schwingen kann (siehe  Abb. 5).

 

 

Das Pendel wird nach unten ausgelenkt, die App Phyphox auf dem angehängten Smartphone gestartet und die Beschleunigung – abzüglich der Erdbeschleunigung – mittels der Beschleunigungssensoren aufgezeichnet (siehe Abb. 6). Um Rauschen beim Einschwingen und Ausreißer beim Anhalten (wie in Abbildung 6 zu erkennen) zu vermeiden, bietet es sich an, die Zeitautomatik einzustellen. Eine Startverzögerung um 3 Sekunden und eine Dauer des Experiments zwischen 90 und 120 Sekunden haben sich dabei bewährt. Alternativ kann die Messung auch mittels Bluetooth über einen PC gestartet.

Die so aufgenommenen Daten können aus Phyphox als Excel-Daten exportiert und z.B. per E-Mail an den PC gesendet werden, um dort weiter untersucht zu werden.

Bei der Auswertung durch Excel muss berücksichtigt werden, dass das Smartphone sich in dieser Versuchsanordnung axial zum Faden drehen kann. Die Werte aus der x- und z-Achse müssen also addiert werden. Da sie sich in derselben Ebene und im 90° Winkel zueinander befinden, erfolgt dies mit dem Satz des Pythagoras (siehe Abb. 7).

3.3 Beobachtung und Erklärung

Die vertikale Schwingung des Federpendels und die horizontale Schwingung des Fadenpendels gehen zyklisch wechselnd ineinander über. Dies ist dem Umstand geschuldet, dass die Resonanzfrequenz der beiden Teilpendel identisch ist. Ein Pendel kann das andere erregen und umgekehrt.

Die Energie der horizontalen Schwingung des Fadenpendels geht dabei nahezu vollständig in die vertikale Schwingung über. Die Schwingung lässt auf Grund von Dämpfungsverlusten nach, bis sie schließlich ganz zum Erliegen kommt (vgl. Abb.8).

Mit den in einem Diagramm dargestellten Messwerten kann veranschaulicht werden, wie die beiden Bewegungen sich in gegenseitiger Resonanz anregen.

4. Praktische Durchführung

4.1 Auswahl einer geeigneten Feder

Für die Auswahl einer geeigneten Feder muss sowohl die Masse des Smartphones, welches als angehängtes Massestück fungiert, als auch die Höhe des geplanten Aufbaus berücksichtigt werden.

Bei Smartphones variiert das Gewicht etwa zwischen 100 und 220 Gramm.
Aus diesen äußeren Vorgaben (Masse des Smartphones und  Federkonstante) kann man für unterschiedliche Federhärten die benötigte Gesamtlänge des Metapendels berechnen:

Da man in der Schule oft nur eine begrenzte Auswahl an Stativmaterial zu Verfügung hat und in den meisten Sammlungen die längsten Stäbe nicht über 1,50 m hinaus gehen, erweist sich eine Federhärte D von ≈ 5,5 – 10  für den Versuch als gut geeignet.

Die Abhängigkeit der Pendellänge von der Federkonstante kann in Abbildung 8 nachvollzogen werden. Dabei werden für die Massen die beiden Extrema (blau ein Smartphone mit geringer Masse[1], orange ein Smartphone mit hoher Masse[2]) ausgewählt.

4.2. Exemplarische Datenaufnahme

Für die Durchführung wird beispielhaft eine Feder mit zuvor unbekannter Federkonstante genommen.  Die Federkonstante wird mit Hilfe des Gewichts des Smartphones (180 g) und der gemessenen Periodendauer von T = 1,03 s bestimmt. Hieraus ergibt sich  mit der Formel zur Berechnung der Federkonstanten ein Wert von

D = 6,71 N/m .

Daraus wird die benötigte Pendellänge des Metapendels aus Feder, Faden und (halber) Smartphonelänge errechnet. In Ruhelage erhält man somit eine Pendellänge von 105 cm. Der Faden wird auf die benötigte Länge angepasst.

Nach Start des Versuchs sieht man recht schnell, wie die horizontale Bewegung zunimmt und die vertikale abnimmt. Nach einigen Schwingungen als Fadenpendel, erregt das System sich wieder selbst und die Bewegung wandelt sich wieder zur vertikalen Schwingung.

Mit Phyphox werden die Beschleunigungen der drei Smartphone-Sensoren aufgenommen und anschließend in Excel exportiert. Für die Auswertung wurde das Rauschen am Beginn und am Ende des Versuchs, welches durch Loslassen bzw. Anhalten des Smartphones entstanden ist, herausgenommen. Für die Vertikalbeschleunigung können die Werte des y-Achsensensors übernommen werden. Da sich das Smartphone während des Versuchs dreht, muss mit Hilfe des Satz des Pythagoras die Beschleunigung der Horizontalbewegung aus den Daten des x- und z-Achsensensors addiert werden.

Die beiden Pendelbeschleunigungen werden dann in einem Diagramm gegenübergestellt.

Im Diagramm sind die wechselnden Übergänge zwischen Vertikal- und Horizontalbeschleunigung gut zu erkennen. Diese Übergänge können als Beispiel für Resonanzphänomene bei gekoppelten Schwingungen herangezogen werden. Die Reibungsverluste müssen, wie bei dem einfachen Federschwinger, mit den Lernenden besprochen werden. Sie äußern sich hier in der abnehmenden Amplitude der Beschleunigung und der steigenden Verweildauer im jeweiligen Schwingungszustand.

Für die Auswertung in der Schule kann aus Gründen der didaktischen Reduktion und Zeitökonomie eine Excel-Vorlage verwendet werden (siehe weiter unten).

Literaturverzeichnis

Feierabend, S., Plankenhorn, T., & Rathgeb, T. (2017). JIM 2017. Stuttgart: Medienpädagogischer Forschungsverbund Südwest.

Götze, Heinke, Riese, Stampfer, & Kuhlen. (2017). Smartphone-Experimente zu harmonischen Pendelschwingungen mit der App Phyphox.

Schlichting, H.-J., & Ucke, C. (1995). Das "Metapendel" oder: eine sich selbst antreibende Schaukel. In: Physik in unserer Zeit,  41-42.

 

Die englischssprachige Publikation dieses Versuchs, erschienen in The Physics Teacher, finden Sie >hier<.

Vorlage zur Auswertung

Die Anleitung und Excel-Vorlage zur Auswertung der mittels phyphox aufgenommenen Daten finden Sie hier.